蒋多多| 细说基本事件 概率-高中数学新学法

蒋多多

在概率论中，基本事件毫无疑问是最基本、最重要的概念。人教A版高中数学必修三教材中，把古典概型和几何概型作为重点内容。在处理概率问题时，许多同学感到最困难的是如何正确确定基本事件，本期，侯哥就来详细说说基本事件的那些事儿。
什么是基本事件？
在一次随机试验中，可能出现的所有基本的不能再分解的结果叫做基本事件。基本事件有两条性质：
（1）两两互斥；
（2）不可再分。
例如：抛掷两枚硬币，所有的基本事件应是（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反、反）四个，而不是（两正）、（一正一反）、（两反），因为“一正一反”还可再分为“（正，反）、（反，正）”。
把一粒豆子随机撒在桌面上，则基本事件是豆子落的位置（点）。
古典概型中如何确定基本事件
首先，我们需要对每个个体进行编号，编号要能很好的区分个体间的差异（比如颜色的差异：这种颜色用字母编号，另一种颜色用数字编号）；
其次，要明确顺序问题，一般而言，“有放回”抽取必须考虑顺序，“不放回”抽取考不考虑顺序所得概率结果相同（不同的只是基本事件数）。
（1）“从……中，任取n个……”可看成是“不放回”，若题中还有“先……，再……”则应考虑顺序，若没有这样的条件，则不必考虑顺序。
（2）题中明确交代“……，放回之后，……”就表明“有放回”，列举基本事件时必须考虑顺序。要注意的是：“把一枚硬币先后抛掷两次”和“同时抛掷两枚硬币”是等价的，“把一个骰子先后抛掷两次”和“同时抛掷两个骰子”是等价的，它们都属于“有放回”抽取。
最后，用枚举法、列表法或树状图法写出所有基本事件。
有的同学表示：作为“脑残党”，我不会区分到底要不要考虑顺序怎么办？
侯哥会直截了当的告诉你：那就别区分了，所有题你都用“有顺序”的办法写基本事件，但要注意不放回的结果中没有（a，a）这样的“重复式”的基本事件，而有放回则有这样的基本事件。




几何概型中怎样确定基本事件
几何概型基本事件的特点是无限性和等可能性。因此，我们无法像古典概型一样列举出所有基本事件，但我们可以把几何概型的基本事件看成“点”或者“线”，这样，只要研究这些“点”或者“线”在什么区域（线上、面内、几何体内、角内）均匀分布，就找到了几何概型的计算方向。
若点在某条线（线段或圆弧）上均匀分布，则用长度比求概率；
若点在某个封闭平面区域上均匀分布，则用面积比求概率；
若点在某个几何体内部均匀分布，则用体积比求概率；
若射线在某个角内部均匀分布，则用角度比求概率。



What？可能发生的随机事件的概率竟然可以等于0？我读书少，你别骗我！
没错！因为“线”的“面积”是0，所以概率当然是0！
在几何概型中，不可能事件的概率是0，但概率是0的事件未必是不可能事件！

分析：（1）在连续区间内随机取一个实数，可看成在数轴上表示该区间的线段上随机取一个点，用长度比计算概率；（2）在连续区间上随机取两个实数，这两个数可构成有序实数对（x,y），其对应的点构成了平面直角坐标系中的一个封闭区域，因此用面积比计算概率。










总结：在计算概率时，弄清基本事件是至关重要的。无论哪种概型，都要求基本事件是等可能的。在古典概型中，特别要注意有放回抽取时必须考虑顺序，才能保证所写基本事件的等可能性。在几何概型中，要弄清楚题目中是“取点”还是“取线”，“点”或“线”在某个区域内“均匀分布”是保证等可能性的关键，特别要注意：当“线”均匀分布时“交点”未必均匀分布。
从基本事件的个数角度讲，若满足“有限性”则是古典概型，做题时要把所有的基本事件写出来，写的方法有枚举法、列表法和树状图法，注意区分“不放回”和“有放回”；若基本事件满足“无限性”则是几何概型，做题时把基本事件看作“点”或“线”，弄清楚这些“点”、“线”在什么区域内均匀分布，从而决定用什么比来计算概率。